A. Pengertian
Himpunan
Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika.
Gerorg Cantor dianggap sebagai Bapak teori himpunan. Himpunan merupakan
kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Istilah didefinisikan
dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda
merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.
Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang
termasuk dalam sebuah himpunan.
Contoh:
Himpunan yang merupakan himpunan:
- Himpunan
anak yang berusia 12 tahun
- Himpunan
bilangan asli genap
- Himpunan
pulau-pulau di Indonesia
Himpunan yang bukan merupakan himpunan:
- Himpunan
anak-anak malas
- Himpunan
wanita-wanita cantik
- Himpunan
lukisan indah
B. Cara Penulisan
Himpunan
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1) dengan
menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda
kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i,
u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2) menyebutkan
syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3) Notasi
Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum
(role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap
anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
1. A adalah
himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
2. B adalah
himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika,
matematika diskrit, statistika, fisika
3. C adalah
himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5
4. D adalah
himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10
5. E adalah
himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10
Penyelesaian :
1. A adalah himpunan bilangan asli antara 1
dan 6
· Dengan menulis tiap-tiap anggotanya
A = {2,
3, 4, 5}
· Dengan menulis
sifat-sifatnya
A = {x | 1
< x < 6, x Î Asli}
2. B adalah
himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika,
matematika diskrit, statistika, fisika
· Dengan menulis tiap-tiap anggotanya
B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit,
statistika, fisika}.
· Dengan menulis sifat-sifatnya
B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada
sifat yang sama di antara anggota-anggotanya
3. C adalah
himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5
· Dengan
menulis tiap-tiap anggotanya C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena
jumlah anggota C tak terhingga.
· Dengan
menulis sifat-sifatnya
C = {x | x > 5, x Î Riil}
4. D adalah
himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10
· Dengan
menulis tiap-tiap anggotanya
D = {2, 4, 6, 8, 10}
· Dengan
menulis sifat-sifatnya
D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}
5. E adalah
himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10
· Dengan
menulis tiap-tiap anggotanya
E = tidak bisa
dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak terhingga.
· Dengan
menulis sifat-sifatnya
E = {x | x < 5 dan x > 10, x Î Riil}
4) Himpunan juga
dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).
Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh
seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta
digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam
segiempat tersebut.
Contoh :
Gambarkan dengan diagram Venn himpunan-himpunan berikut ini :
1. S = {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}
2. S = {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}
3. S = {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}
Penyelesaian
:
1. S = {0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}
Diagram Venn :
2. S = {0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}
Diagram Venn :
3. S = {0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}
Diagram Venn
:
C. Keanggotaan
Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika)
Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti
A,B,C,dan seterusnya. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang
“Δ (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan
digunakan lambing” Ï” (baca: bukan anggota).
A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya
adalah a, b, dan c.
Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A
Bukan keanggotaan suatu himpunan A.
Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.
Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan
· Banyaknya
unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut
│A│dibaca “banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).
Contoh Soal:
Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :
1. A = {2,
4, 6, 8, 10}
2. B = {x |
1 < x < 6, x Î Asli}
3. C = {x |
x > 5, x Î Riil}
4. D = {x |
x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}
5. E = {x |
x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}
Penyelesaian :
1. A = {2,
4, 6, 8, 10}
n
(A) = 5
2. B = {x |
1 < x < 6, x Î Asli}
B =
{2, 3, 4, 5}
n(B)
= 4
3. C = {x |
x > 5, x Î Riil}
n(C)
= ~
4. D = {x |
x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}
D =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9}
n(D)
= 10
5. E = {x |
x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}
E =
{2, 3, 5, 7, 11, 13}
n(E) = 6
D. Macam-Macam
Himpunan (Menurut buku Ensiklopedia Matematika)
1) Himpunan
Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan
himpunan bagian (subset)
dari himpunan B ditulis A ⊂
B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota
dari B.
Dinyatakan dengan simbol :
A ⊂ B
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian
dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan
bagian dari B
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5
} dan B = { 2,4} maka B ⊂
A
Sebab setiap elemen
dalam B merupakan elemen
dalam A, tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus
mempunyai unsur himpunan A juga
merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2) Himpunan
Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur
anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { }
Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan
{ 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Contoh :
A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }
Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air maka A = ø
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah
himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong
dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
3) Himpunan
Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S”
(Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan
atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan
semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian
seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan
pembicaraan.
Contoh : Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang
dapat menjadi himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah
4) Himpunan
Berhingga
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan
tertentu atau n(A) = a, a bilangan
cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak
anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.
Contoh :
a. A = karena
n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B =
n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
5) Himpunan Tak
Berhingga
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak
memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya
sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan
perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis
dengan bilangan cacah.
Contoh :
Q=
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses
perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga
dan n(Q) = ~.
6) Himpunan Sama
(Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota
himpunan B, begitu pula sebaliknya.
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e}
B={ c,d,e }
Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua
buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka
himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
7) Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
tidak ada yang sama.
Contoh C = {1, 3, 5,
7} dan
D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan
himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas
jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama
8) Himpunan
Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC .
Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂
U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan
notasi pembentuk himpunan ditulis : AC = {x│x Î U, x Ï A}
9) Himpunan
Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama
banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A)
A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan
himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n
(B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal
dari himpunan tersebut, bila himpunan A
beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
E. Operasi pada
Himpunan
a) Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.
Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}
Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B =
{0, 3, 7, 9}
Diagram Venn :
A
È B = {0, 1, 3, 5, 7, 9}
b) Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan
B.
Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}
Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B =
{0, 3, 7, 9}
Diagram Venn :
A Ç B =
{3, 7}
c)Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah
himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.
Notasi : Ac = {x | x Î S Ù x Ï A} atau = {x | x Î S Ù x Ï A}
Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}
Diagram Venn :
AC =
{0, 2, 4, 6, 8, 9}
d) Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya
merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A
dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.
Notasi : A – B = {x | x Î A Ù x Ï B} atau A – B = A Ç
Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B =
{0, 3, 7, 9}
Diagram Venn :
A –
B = {1, 2}
e)Beda Setangkup
Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B
adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada
keduanya.
Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B) atau : A Å B = (A – B) È
(B – A)
Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B =
{0, 3, 7, 9}
Diagram Venn :
A Å B = {1, 2, 8, 9}
F. Sifat-sifat
Operasi pada Himpunan
1) Hukum
Identitas
a) A È f = A
b) A Ç S = A
c) A Å f = A
2) Hukum Null
a) A Ç f = f
b) A È S = S
c) A Å A = f
3) Hukum
Komplemen
a) A È Ac = S
b) A Ç Ac = f
4) Hukum
Idempoten
a) A È A = A
b) A Ç A = A
5) Hukum Involusi
(Ac)c = A
6) Hukum
Penyerapan
a) A È (A Ç B) = S
b) A Ç (A È
B) = A
7) Hukum
Komutatif
a) A È B = B È A
b) A Ç B = B Ç A
c) A Å B = B Å A
8) Hukum
Asosiatif
a) A È (B È C) = (A È B) È C
b) A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
c) A Å (B Å C) = (A Å B) Å C
9) Hukum
Distributif
a) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A
È C)
b)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
10) Hukum De Morgan
a) (A Ç B) c = A c È B c
b) (A È B) c = A c Ç B c
G. Manfaat Belajar
Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari
Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika
akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara
logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika
berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:
1) Membantu
setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis,
lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2) Meningkatkan
kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3) Menambah
kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4) Memaksa dan
mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5) Meningkatkan
cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan
serta kesesatan.
6) Mampu melakukan
analisis terhadap suatu kejadian.
H. Contoh Penerapan
Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari
Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan
dalam kehiupan sehari-hari.
Soal:
1. Dalam sebuah
kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga
dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan
yang gemar olahraga saja?
2. Dari survey
100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45
orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca
dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :
a) Orang yang
gemar melukis dan menulis saja
b) Orang yang
gemar membaca dan melukis saja
c) Orang yang
gemar membaca saja
d) Orang yang
gemar menulis saja
e) Orang yang
gemar melukis saja
f) Orang yang
tidak suka ketiganya
Penyelesaian:
1. Perhatikan
dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa
yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang
gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar
keduanya merupan anggota irisan sehingga dapat dicari siswa yang gemar musik
saja dan siswa yang gemar olahraga saja. Perhatikan gambar berikut :
Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang sehingga siswa yang hanya gemar
Musik dan olah raga saja yaitu :
Musik = 24 – 16 = 8
Olahraga = 30 – 16 = 14
Dengan demikian
himpunan semestanya :
S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.
2. Dari soal
nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis
dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita cari irisan ketiganya. Sehingga dapat
disimpulkan :
Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis
a) Orang yang gemar
melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang
b) Orang yang
gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang
c) Orang gemar
membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang
d) Orang yang
gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang
e) Orang yang gemar
melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan
himpunan kosong
f) Orang yang
tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang
Tidak ada komentar:
Posting Komentar