Logika

KONSEP DAN NOTASI DASAR PROPOSISI
Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).
Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
a)    6 adalah bilangan genap
b)    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
c)    2 + 2 = 4
d)    Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang
e)    12 ≥ 19
f)     Kemarin hari hujan
g)    Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius
h)   Pemuda itu tinggi
i)     Kehidupan hanya ada di Planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.
Contoh 1.2
a)    Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b)    Serahkan uangmu sekarang!
c)    x + 3 = 8
d)    x > 3
bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat
“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”
Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).
Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,
p: 6 adalah bilangan genap,
Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk
q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
r : 2 + 2 = 4.
dan sebagainya.
Mengkombinasikan Proposisi
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan  operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI. Misalkan  dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p dan
Disjungsi (disjunction)  dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p atau
Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p
Catatan:

1. Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.
2. Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.
Contoh 1.2
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p: Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka
pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)
Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

1. Misalkan p dan q adalah proposisi.

• Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
• Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
• Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya

Misalkan
p: 17 adalah bilangan prima
q: bilangan prima selalu ganjil
jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p ^ q: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.
Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan ingkaran

p	q	p ^ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p  v q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p	q
T	F
F	T

Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika
(p ^ q) v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah  buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.
Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v (~q ^ r)

p	q	r	p ^ q	~q	~q ^ r	(p ^ q) v (~q ^ r)
T	T	T	T	F	F	T
T	T	F	T	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F	F
F	T	F	F	F	F	F
F	F	T	F	T	T	T
F	F	F	F	T	F	F

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat True. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat False.
Hukum – Hukum Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1. Hukum identitas i.            p v F ó p ii.            p ^ T ó p	2. Hukum null dominasi i.            p ^ F ó F ii.            p v T ó T
3. Hukum negasi i.            p v ~p ó T ii.            p ^ ~p ó F	Hukum idempotent i.            p v p ó p ii.            p ^ p ó p
5. Hukum involusi ~(~p) ó p	Hukum penyerapan i.            p v (p ^ q) ó p ii.            p ^ (p v q) ó p
7. Hukum komutatif i.            p v q ó q v p ii.            p ^ q ó q ^ p	Hukum assosiatif i.            p v (q v r) ó (p v q) v r ii.            p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
9. Hukum distributif i.            p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r) ii.            p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)	10.  Hikum de morgan i.            ~(p ^ q) ó ~p v ~q ii.            ~(p v q) ó ~p ^ ~q

Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya terdiri dari  baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat  baris di dalam tabel kebenarannya.

Implikasi
Adalah suatu pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan memakai kata hubung logika “jika…maka…”.
Implikasi suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :

1.  Jika p maka q
2.  p berimplikasi q
3.  q hanya jika p
4.  p syarat cukup untuk q
5.  q syarat perlu untuk p

Pada  implikasi, p disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).
Nilai kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku untuk p pernyataan bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.

p	q	p→q≡¬pVq
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Implikasi Logis
“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”
Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.
Misal     p: Andi rajin belajar
                        q: Andi naik kelas
                                maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.

p	q	p→q	((p→q)∧p)	((p→q)∧p)→q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A  Tono pergi kuliah
B  Tini pergi kuliah
C  Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1)   A → B                                    (Premis)
(2)   C → B                         (premis)
(3) (A V C) → B              (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B       

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.  (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.  [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                   (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:

1.  (p ʌ q)  q

Penyelesaian:
(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q
~p v ~q v q
 ~p v T
 T ………….(Tautologi)
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

1.  q  (p v q)

penyelesaian:
q  (p v q)     ~q v (p v q)
 ~q v (q v p)
 T v p
  T …………(Tautologi)

1.    KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:

1.  (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2.  P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

1.    Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.  Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p
p v q q v p

2.  Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r  p v (q v r)

3.  Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.  Hukum identitas:

p ʌ T  p
p v F  p

5.  Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T
P v F  F

6.  Hukum negasi:

P v ~p  T
P ʌ ~p  F

7.  Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.  Hukum idempoten:

P ʌ p  p
p v p  p

9.  Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q
~(p v q)  ~p ʌ ~q

1.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p
P ʌ (p v q)  p

1.  Hukum T dan F:

~T  F
~F  T

2.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.  Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:
~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)
                                     ~p ʌ (q v ~q)
                                     ~p ʌ T
                                     ~p ………..(terbukti)

2.  Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)                    (2)             (3)           (4)             (5)                   (6)                        (7) 
Dari tabel diatas pada kolom ke(6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).
Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

 Sumber :
http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-dan-ekuivalensi_4667.html

Proposisi

proposisi

Tautologi Adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Kontradiksi Adalah Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Tabel Kebenaran

ALJABAR LOGIKA

- Pernyataan/Proposisi

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah) tetapi tidak keduanya.

Contoh:

p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true).

q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false).

- Negasi/lingkaran

Negasi suatu kalimat akan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka akan bernilai benar.

- Membuat kesimpulan

NEGASI LINGKARAN

Dalam logika matematika, negasi atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p bernilai benar maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar. Bentuk ~p biasa dibaca “bukan p”, “tidak p”, “tidak benar bahwa p”, dsb.

 http://vynhe.blogspot.com/2013/07/tautologi-kontradiksi-aljabar-logika.html

http://nadyanavyanti.blogspot.com/2013/06/tautologi-dan-kontradiksi-aljabar.html

http://christoperjohan.blogspot.com/2012/09/logika-logic.html

Fungsi

FUNGSI

DEFINISI FUNGSI

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

Macam-macam Fungsi :

 Fungsi Aljabar : semua fungsi yang menggunakan operasi perhitungan secara aljabar disebut fungsi aljabar, misalnya fungsi kuadrat, fungsi pecahan, fungsi linier dan sebagainya.

Fungsi Eksponen : fungsi eksponen adalah fungsi perpangkatan dengan variabel bebas sebagai pangkatnya. misalnya f(x) = 2x

Fungsi Eksplisit : fungsi eksplisit adalah fungsi yang dapat dibedakan dengan jelas antara variabel bebas dan variabel tidak bebas. contohnya y = 2x – 5 , dalam fungsi ini x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel tidak terbatas, nilai y ditentukan oleh besarnya nilai x, sehingga dapat terlihat dengan jelas perbedaan kedua variabel tersebut.

Fungsi Implisit : fungsi implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisist perbedaan antara variaabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. contohnya f(x,y) = 3x + 4y.

Fungsi Ganjil : suatu fungsi dikatakan ganjil jika dan hanya jika f(-x) = – f(x).

Fungsi Genap : suatu fungsi dikatakan genap jika dan hanya jika f(-x) = f(x). fungsi genap merupakan lawan dari fungsi ganjil.

Fungsi Goniometri : fungsi goniometri juga disebut fungsi trigonometri yaitu fungsi yang memetakan besar sudut dengan bilangan aljabar atau sebaliknya. contohnya y = sin x.

Fungsi Identitas : fungsi identitas dilambangkan dengan notasi “I”, yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri.

Fungsi Into : fungsi into juga disebut fungsi kedalam atau fungsi injektif atau fungsi satu-satu yaitu fungsi yang  memetakan setiap anggota domain dengan tepat sati kawan yang berbeda pada kodomain.

Fungsi Onto : fungsi onto juga disebut fungsi surjektif atau fungsi kepada yaitu suatu fungsi yang setiap anggota daerah hasil merupakan peta dari daerah asal.

Fungsi Bijektif : fungsi bijektif disebut juga fungsi satu-satu kepada yaitu gabungan dari fungsi satu-satu dan fungsi kepada yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan pada kodomain dan setiap anggota kodomain adalah peta dari domain.

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan ” setengah dari “.

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

    Domain adalah daerah kawan

    b. Kodomain adalah daerah kawan

    c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

Sumber : http://irmasusandar.blogspot.com/2013/07/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html

Relasi

RELASI

PENGERTIAN RELASI

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

Macam penyajian relasi :

Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

 Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan :   (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari bmaka relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini :

Penyajian relasi dengan diagram cartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B.

 Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut

relasi pada diagram panah dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, yaitu :

             R = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (5, 4)}

Penyajian Relasi dengan Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Penyajian Relasi dengan Matriks

Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}

Jenis-jenis Relasi

Relasi Invers : Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

contoh:

A = {1,2,3}           B = {x,y}

R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B

R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

Relasi Refleksif : Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

Contoh Relasi Refleksif

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan

R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ?

R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1merupakan relasi refleksif.

Relasi Simetrik : Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi.

R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R.

Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

Contoh Relasi Simetrik

perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

Apakah relasi dalam {1, 2, 3, 4} berikut simetrik?

 pembahasan

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2,4), (1, 1), (3, 3), (2, 1)}

Relasi tersebut simetrik. Mari kita periksa satu per satu.

 kita menemukan (1, 2). Berarti (2, 1) juga harus ada. Ternyata benar.

{(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 4), (1, 1), (3, 3), (2,1)}

 Relasi anti Simetrik : Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.

Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1pula.l

Relasi Transitif : Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain

Jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R.

Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitif

R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}l

Relasi Equivalen : Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;

1.Sifat Refleksif

2.Sifat Simetrik

3.Sifat Transitif

Sekian penjelasannya, untuk  lebih paham, ada 1 soal nih.

    Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3) (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:

refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.

R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel

berikut:

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R3

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R3

(2,1)   (1,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,2)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

(a,b)   (b,c)   (a,c)         Keterangan

(1,1)   (1,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,2)   (2,2)   (1,2)        Anggota R5

(1,3)   (3,3)   (1,3)        Anggota R5

(1,4)   (4,1)   (1,1)        Anggota R5

(2,2)   (2,4)   (2,4)        Bukan anggota R3

(2,3)   (2,1)   (2,1)        Anggota R3

(2,4)  

(3,3)  

(3,4)  

(4,4)  

Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.

 partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunan  menjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong  yang mana setiap elemen  tepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibut sel dari partisi.

  SUMBER :

http://budysantoso40.blogspot.com/2012/09/relasi.html

http://ariaturns.wordpress.com/2010/05/30/relasi-ekuivalen-kelas-ekuivalensi-dan-partisi/